Sujets types Bac: Fonction TC

mercredi 31 juillet 2013

Exercice 2

Soit f la fonction définie sur par . On note (C ) sa courbe représentative dans un plan muni d'un repère orthonormé d'unité graphique 3cm.
PARTIE A 
Soit g la fonction définie sur par
1.  a) Calculer la limite de g en
     b) Déterminer le sens de variation de g
     c) En déduire le signe de g
2.  a) Calculer la limite de f en
     b) Montrer que pour tout x de , on a
     c) En déduire la limite de f en
3.  a) Montrer que f' et g ont même signe
     b) Dresser le tableau de variation de f
     c) Ecrire l'équation de la tangente (T) en x₀ =0
4.  a) Montrer que f admet une fonction réciproque f^-1 que l'on construira son tableau de variation.
     b) Calculer f^-1(ln2)
5.  Tracer dans un même repère les courbes représentatives (C ) et (c' ) de f et f^-1.
PARTIE B
On considère l'équation différentielle (E ):
1.  a) Montrer que la fonction f est une solution de (E)
     b) Résoudre l'équation différentielle (E'): y + y' = 0.
     c) Soit une solution de (E ). Montrer que est une solution de (E ) si et seulement si est solution de (E').
     d) En déduire les solutions de (E ).
2.  Sachant que f est une solution de (E ), déterminer une primitive F de f
3.  Pour n de , on pose
     a) Donner l'expression de I_n en fonction de n b) En déduire que pour tout n de , on a .
     c) Calculer la limite de I_n
4.  Soit (U_n) la suite définie dans par
     a) Montrer que pour tout k de et pour tout on a
     b) En déduire que pour tout k de
     c) Montrer que pour n de on a
     d) Etudier la variation de la suite (U_n)
     e) Déduire des question précédentes que la suite (U_n) converge vers une limite l que l'on encadrera.

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Géométire: Série C session 1998

mercredi 15 mai 2013

Exercice 2

Dans le plan affine euclidien orienté , on considère le triangle ABC isocèle et rectangle en A dont la base [AB] mesure 4cm. On note par E le milieu du segment [BC].

1°) Soit D le barycentre du système des points pondérés {(A, 1);(B, -1); (C,-1)}
      a) Construire en vraie grandeur le triangle ABC et placer les points D et E.
      b) Discuter suivant les valeurs du réel k la nature de l'ensemble .  Préciser ses éléments géométriques.
2°) On note par: r_B la rotation de centre B et d'angle ;
r_C la rotation de centre C et d'angle ,
t la translation de vecteur .
Soit s = r_Cotor_B.
      a) Montrer que s est une symétrie centrale.
      b) Déterminer s(B) et en déduire le centre de s.
      c) Soit (C) le cercle de centre D passant par E. Construire la courbe (C'), transformée de (C) par s.
3°) On suppose que est le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct avec et .
Soient S la similitude indirecte de qui laisse invariant le point D et transforme B en C et, T la translation de vecteur .
      a) Donner les expressions analytiques de S et de T.
      b) Donner l'expression complexe de la translation .

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Probabilité

Exercice 1

Une urne contient (n + 8) boules distinctes de trois couleurs:
n boules bleues (n entier supérieur ou égal à 2),
5 boules rouges,
3 boules vertes,

1°) On tire deux boules de l'urne sans remise et l'on se place dans l'hypothèse de l'équiprobabilité.

Une règle du jeux a été établie de la façon suivante: - On gagne quand on tire deux boules de la même couleur,
- On perd quand on tire deux boules de couleurs distinctes. Calculer en fonction de n la probabilité p_n de gain, puis la probabilité q_n de perte.
Calculer  .  Ce résultat était-il prévisible?
2°) On effectue maintenant une série de dix tirages de deux boubles comme au 1°) en remettant chaque fois les deux boules tirées dans l'urne. Calculer en fonction de n la probabilité p_n d'obtenir neuf fois et neuf fois seulement un tirage de deux boules de la même couleur. Calculer . Ce résultat était-il prévisible?

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Géomètrie : Transformations

samedi 11 mai 2013

Exercice 1

Dans le plan orienté, on considère le triangle rectangle isocèle ABC que I est le milieu du segment [BC].
r_B est la rotation de centre B, d'angle
r_C est la rotation de centre C, d'angle
t est la transformation de vecteur
s est la composée r_Cotor_B
1°) Déterminer la nature de s. Quelle est l'image de B par S?
2°) Caractériser la transformation s

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Fonction, intégrale et suite numérique

jeudi 9 mai 2013

Exercice 1

Soit et  f_n  la fonction numérique de la variable réelle x définie par:
 
Soit
1° a) Montrer que f_n est intégrable [1,e] pour tout n sans IN et que .
    b) Calculer alors U₀ et U₁.
2° a) Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que:

    b) Calculer U₂ et U₃.
3° a) Soit . Etudier le signe de f_n - f_{n -1} pour
    b) En déduire que pour tout n dans IN* on a:
et
    c) Calculer alors
4° On considère la suite (V_n) définie par : V₀ =1 et     
    a) Calculer V₁. En donner une valeur approchée à 10^-1 près.
    b) Montrer que (On rappelle que 0!=1)
    c) En déduire

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