Sujets types Bac: Fonction TC

Exercice 2

Soit f la fonction définie sur par . On note (C ) sa courbe représentative dans un plan muni d'un repère orthonormé d'unité graphique 3cm.
PARTIE A 
Soit g la fonction définie sur par
1.  a) Calculer la limite de g en
     b) Déterminer le sens de variation de g
     c) En déduire le signe de g
2.  a) Calculer la limite de f en
     b) Montrer que pour tout x de , on a
     c) En déduire la limite de f en
3.  a) Montrer que f' et g ont même signe
     b) Dresser le tableau de variation de f
     c) Ecrire l'équation de la tangente (T) en x₀ =0
4.  a) Montrer que f admet une fonction réciproque f^-1 que l'on construira son tableau de variation.
     b) Calculer f^-1(ln2)
5.  Tracer dans un même repère les courbes représentatives (C ) et (c' ) de f et f^-1.
PARTIE B
On considère l'équation différentielle (E ):
1.  a) Montrer que la fonction f est une solution de (E)
     b) Résoudre l'équation différentielle (E'): y + y' = 0.
     c) Soit une solution de (E ). Montrer que est une solution de (E ) si et seulement si est solution de (E').
     d) En déduire les solutions de (E ).
2.  Sachant que f est une solution de (E ), déterminer une primitive F de f
3.  Pour n de , on pose
     a) Donner l'expression de I_n en fonction de n b) En déduire que pour tout n de , on a .
     c) Calculer la limite de I_n
4.  Soit (U_n) la suite définie dans par
     a) Montrer que pour tout k de et pour tout on a
     b) En déduire que pour tout k de
     c) Montrer que pour n de on a
     d) Etudier la variation de la suite (U_n)
     e) Déduire des question précédentes que la suite (U_n) converge vers une limite l que l'on encadrera.