Géométire: Série C session 1998

mercredi 15 mai 2013

Exercice 2

Dans le plan affine euclidien orienté , on considère le triangle ABC isocèle et rectangle en A dont la base [AB] mesure 4cm. On note par E le milieu du segment [BC].

1°) Soit D le barycentre du système des points pondérés {(A, 1);(B, -1); (C,-1)}
      a) Construire en vraie grandeur le triangle ABC et placer les points D et E.
      b) Discuter suivant les valeurs du réel k la nature de l'ensemble .  Préciser ses éléments géométriques.
2°) On note par: r_B la rotation de centre B et d'angle ;
r_C la rotation de centre C et d'angle ,
t la translation de vecteur .
Soit s = r_Cotor_B.
      a) Montrer que s est une symétrie centrale.
      b) Déterminer s(B) et en déduire le centre de s.
      c) Soit (C) le cercle de centre D passant par E. Construire la courbe (C'), transformée de (C) par s.
3°) On suppose que est le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct avec et .
Soient S la similitude indirecte de qui laisse invariant le point D et transforme B en C et, T la translation de vecteur .
      a) Donner les expressions analytiques de S et de T.
      b) Donner l'expression complexe de la translation .

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Probabilité

Exercice 1

Une urne contient (n + 8) boules distinctes de trois couleurs:
n boules bleues (n entier supérieur ou égal à 2),
5 boules rouges,
3 boules vertes,

1°) On tire deux boules de l'urne sans remise et l'on se place dans l'hypothèse de l'équiprobabilité.

Une règle du jeux a été établie de la façon suivante: - On gagne quand on tire deux boules de la même couleur,
- On perd quand on tire deux boules de couleurs distinctes. Calculer en fonction de n la probabilité p_n de gain, puis la probabilité q_n de perte.
Calculer  .  Ce résultat était-il prévisible?
2°) On effectue maintenant une série de dix tirages de deux boubles comme au 1°) en remettant chaque fois les deux boules tirées dans l'urne. Calculer en fonction de n la probabilité p_n d'obtenir neuf fois et neuf fois seulement un tirage de deux boules de la même couleur. Calculer . Ce résultat était-il prévisible?

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Géomètrie : Transformations

samedi 11 mai 2013

Exercice 1

Dans le plan orienté, on considère le triangle rectangle isocèle ABC que I est le milieu du segment [BC].
r_B est la rotation de centre B, d'angle
r_C est la rotation de centre C, d'angle
t est la transformation de vecteur
s est la composée r_Cotor_B
1°) Déterminer la nature de s. Quelle est l'image de B par S?
2°) Caractériser la transformation s

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Fonction et TVI

vendredi 10 mai 2013

Exercice 1

Soit f la fonction définie sur l'intervalle par :

On appele (C) sa courbe représentative de f dans le repère orthonormé d'unité graphique 1cm.
1° a) Calculer la fonction f ' dérivée de f et f '' dérivée de f '.
     b) Dresser le tableau de variations de f ' sur  .
     c) En déduire le signe de f' sur  .
2° a) Dresser le tableau de variations de f sur  .
     b) Montrer que la droite (D) d'équation y = - x + 1 est une asymptote oblique à (C) au voisinage de
3° a) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet sur  une solution et une seule. On note cette solution.
     b) justifier l'encadrement :
4° Tracer dans un même repère la courbe (C) et la droite (D)
5° Soit A() l'aire du domaine plan limité par la courbe (C), la droite (D) et les droites d'équation x=0 et x = .
    a) Exprimer A() en fonction de
    b) En déduire

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Arithmétique

Exercice 3

Si p et q sont deux éléments de le plus grand commun diviseur de ces deux nombres sera noté .
1° a) Déterminer l'ensemble des éléments x de qui vérifient:

     b) En déduire l'ensemble des couples (x,y) de qui vérifient:
(1) 3x - 7y = 23
 2° a) Soit k un élément de , . Démontrer l'égalité
      b) En déduire l'ensemble des couples (x,y) de vérifiant (1) et tels que .

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Fonction, intégrale et suite numérique

jeudi 9 mai 2013

Exercice 1

Soit et  f_n  la fonction numérique de la variable réelle x définie par:
 
Soit
1° a) Montrer que f_n est intégrable [1,e] pour tout n sans IN et que .
    b) Calculer alors U₀ et U₁.
2° a) Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que:

    b) Calculer U₂ et U₃.
3° a) Soit . Etudier le signe de f_n - f_{n -1} pour
    b) En déduire que pour tout n dans IN* on a:
et
    c) Calculer alors
4° On considère la suite (V_n) définie par : V₀ =1 et     
    a) Calculer V₁. En donner une valeur approchée à 10^-1 près.
    b) Montrer que (On rappelle que 0!=1)
    c) En déduire

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