Fonction, intégrale et suite numérique

Exercice 1

Soit $\small \inline n\in \mathbb{N}$ et f_n la fonction numérique de la variable réelle x définie par:
$\small f_{n}\left ( x \right )=\frac{\left ( lnx \right )^{n}}{x^{2}}$
Soit $\small \inline U_{n}= \int_{1}^{e}f_{n}(x)dx$
1° a) Montrer que f_n est intégrable [1,e] pour tout n sans IN et que $\small \inline U_{n}\geq 0$ .
    b) Calculer alors U₀ et U₁.
2° a) Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que:
$\small \inline \forall n\geq 1\; \: U_{n}=-\frac{1}{e}+nU_{n-1}$
    b) Calculer U₂ et U₃.
3° a) Soit $\small \inline n\geq 1$ . Etudier le signe de f_n - f_{n -1} pour $\small \inline x\in \left [ 1, e \right ]$
    b) En déduire que pour tout n dans IN* on a:
$\small \inline U_{n}\leq U_{0}$ et $\small \inline \frac{1}{n!}U_{n}\leq \frac{1}{n}U_{0}$
    c) Calculer alors $\small \inline \underset{n\rightarrow +\infty }{lim\left ( \frac{1}{n!}U_{n} \right )}$
4° On considère la suite (V_n) définie par : V₀=1 et $\small \inline \forall n\geq 1$    $\small \inline V_{n} = V_{n-1}+\frac{1}{n!}$
    a) Calculer V₁. En donner une valeur approchée à 10^-1 près.
    b) Montrer que $\small \inline \forall n\in \mathbb{N}$ $\small \inline \frac{1}{n!}U_{n}=1-\frac{1}{e}V_{n}$ (On rappelle que 0!=1)
    c) En déduire $\small \inline \underset{n\rightarrow +\infty }{lim}V_{n}$

Fonction, intégrale et suite numérique

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